Halaman
PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan Nasional
MATEMATIKAuntuk SMA/ MA Kelas XII Program BahasaSri LestariDiah Ayu KurniasihEditor:Dwi SusantiPenata letak:Ria Nita FatimahPerwajahan:Cahyo MuryonoIlustrasi isi:Bayu Aryo DewanthoPenata sampul :Hary SuyadiUkuran Buku :17,6 x 25 cmHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit Putra Nugraha,CVDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2009Diperbanyak oleh ....Hak Cipta Pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undang510.07SRISRI LestarimMatematika 3 : untuk SMA / MA Program Studi Bahasa Kelas XII/ Sri Lestari, Diah Ayu Kurniasih; editor, Dwi Susanti; ilustrasi, Budi Aryo Dewantho. — Jakarta : Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional, 2009. vii, 120 hlm, : ilus. ; 25 cmBibliografi : hlm. 115IndeksISBN 978-979-068-846-9 (no. jilid lengkap)ISBN 978-979-068-852-0 1. Matematika-Studi dan PengajaranI. JudulII. Diah Ayu Kurniasih III. Dwi Susanti IV. Budi Aryo Dewantho
Kata SambutanPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dankarunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional,pada tahun 2009, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet(website) Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar NasionalPendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhisyarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melaluiPeraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 81 tahun 2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada parapenulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswadan guru di seluruh Indonesia.Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan,dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untukpenggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhiketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku tekspelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruhIndonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapatmemanfaatkan sumber belajar ini.Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepadapara siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya.Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juni 2009Kepala Pusat Perbukuan
Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaivPuji syukur senantiasa kami panjatkan ke hadirat Tuhan yang Maha Esa,karena dengan rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan bukuMatematika untuk SMA/ MA dengan lancar dan baik. Buku ini disusun sesuaidengan standar isi kurikulum 2006.Buku ini disajikan dengan pendekatan pemecahan masalah. Denganpendekatan ini, diharapkan siswa dapat aktif dan memiliki ketrampilan dalammemahami masalah, membuat model matematika, menyelesaikan masalah,dan menafsirkan solusinya. Selain itu, buku ini juga disajikan dengan bahasayang sederhana sehingga mudah dipahami oleh para siswa.Telah kita ketahui bahwa untuk menguasai dan menciptakan teknologidi masa depan diperlukan penguasaan matematika yang kuat sejak dini.Dengan pola penyajian buku ini, diharapkan dapat membantu danmempermudah pemahaman matematika siswa. Dengan memahamimatematika secara komprehensif, siswa akan memiliki sikap ulet dan percayadiri dalam memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari.Akhirnya kami menyadari bahwa buku ini tidaklah sempurna. Segala kritikdan saran membangun untuk menyempurnakan buku ini sangat kaminantikan. Kepada semua pihak yang membantu terselesainya buku ini, kamiucapkan terima kasih. Semoga buku ini bermanfaat bagi semua pihak. Selamatbelajar dan semoga sukses!Surakarta, Mei 2008PenulisKata Pengantar
Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasavDaftar IsiHalKata Sambutan.................................................................................................. iiiKata Pengantar..................................................................................................ivDaftar Isi .............................................................................................................vDaftar Notasi .....................................................................................................viBab 1Program Linear..................................................................................1A. Sistem Pertidaksamaan Linear.................................................2B. Nilai Optimum Fungsi Objektif ................................................ 1 6Uji Kompetensi ................................................................................... 2 3Bab 2Matriks.................................................................................................2 7A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Suatu Matriks........................ 2 8B. Operasi Aljabar Matriks ............................................................ 3 8C. Determinan dan Invers Matriks ............................................... 5 1D. Invers Matriks Ordo 3 (pengayaan) ........................................ 5 8Uji Kompetensi ................................................................................... 7 0Uji Semester Gasal .......................................................................................... 7 3Bab 3Barisan dan Deret ............................................................................. 7 9A. Barisan dan Deret Bilangan...................................................... 8 0B. Barisan dan Deret Aritmetika .................................................. 8 4C. Barisan dan Deret Geometri ..................................................... 9 4D. Penerapan Deret Aritmetika dan Deret Geometri ............... 105Uji Kompetensi ................................................................................... 109Uji Semester Genap ........................................................................................ 111Daftar Pustaka .................................................................................................. 115Indeks ................................................................................................................ 116Glosarium ........................................................................................................... 117Kunci Jawaban.................................................................................................. 118Catatan................................................................................................................ 121
Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaviDaftar NotasiNotasiKeteranganadj Aadjoin matriks A∈anggota:bagi......baginbanyaknya sukubbedaNbilangan asliCbilangan cacahRbilangan realdeterminan matriks, harga mutlakdet Adeterminan matriks Aamnelemen matriks baris ke-m kolom ke-nzfungsi objektifA-1invers matriks AS∞jumlah deret geometri tak hinggaSnjumlah n suku pertama×kalicijkofaktor dari aijkkonstanta<kurang dari≤kurang dari atau sama dengan−kurang, minus, negatif–Alawan matriks A>lebih dari≥lebih dari atau sama dengan lebih kuranglimlimitloglogaritmaAm × nmatriks A yang berordo m×nOmatriks nolImatriks identitas
Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaviiNotasiKeteranganijMminor aijnotasi matriksnotasi matriksrrasio=sama denganUnsuku ke–nasuku pertamaU1suku pertamaVtsuku tengah∞tak terhingga+tambah, plus, positif≠tidak sama denganAttranspose matriks AA'transpose matriks A
Program Linear1Bab 1Program LinearPeta KonsepMenyelesaikan masalah program linearqMenyelesaikan sistem petidaksamaan linear dua variabelqMerancang model matematika dari masalah program linearqMenyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan menafsirkansolusinyaStandar KompetensiKompetensi DasarSistem PertidaksamaanLinear (SPL)Menentukan Nilai OptimumFungsi ObjektifSistem Pertidaksamaan LinearDua Variabel (SPLDV)Menentukan HimpunanPenyelesaian SPLDVModel MatematikaProgram LinearMetode Uji Titik UjungMetode Garis Selidik
2Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaSumber: blognya-rita.blogspot.comGambar 1.1Setiap orang atau perusahaan pasti menginginkan keuntungan atau labasebesar–besarnya dengan alokasi sumber yang terbatas. Sebagai contoh,sebuah perusahaan memproduksi dua model kapal pesiar. Model Imembutuhkan waktu 30 jam untuk memotong dan merakit serta 40 jam untukmenyelesaikannya. Model 2 membutuhkan 45 jam untuk memotong danmerakit serta 30 jam untuk menyelesaikannya. Waktu yang tersedia 360 jamuntuk memotong dan merakit serta 300 jam untuk menyelesaikannya.Keuntungan bersih untuk setiap unit model I sebesar Rp4.500.000,00 dan modelII sebesar Rp6.000.000,00. Apakah Anda dapat menentukan berapa banyakkapal pesiar model I dan model II yang harus diproduksi agar diperolehkeuntungan maksimum?Kasus di atas adalah salah satu contoh permasalahan program linear.Masalah semacam itu sering kita jumpai dalam dunia usaha, ekonomi, ilmiah,dan sebagainya. Masalah program linear adalah masalah yang berhubungandengan penentuan maksimum atau minimum suatu fungsi linear dengankendala–kendala berupa sistem pertidaksamaan linear.Sebelum mempelajari program linear, kita akan mengingat kembalitentang sistem pertidaksamaan linear. Materi sistem pertidaksamaan linearyang akan kita bahas adalah sistem pertidaksamaan linear dua variabel danmenentukan himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaanlinear.A. Sistem Pertidaksamaan Linear1. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelContoh 1.1a. 2x + y > 4b.x – 3yt 5c. 5x + y < 10d. 6x – yd 11
Program Linear3Keempat hubungan pada contoh 1.1 memuat dua hal, yaitu:a. terdapat lambang ketidaksamaan, yaitu lebih dari (>), lebih dari samadengan atau tidak kurang dari (t), kurang dari (<), dan kurang darisama dengan atau tidak lebih dari (d);b. terdapat dua variabel (x dan y) dan masing–masing variabel berpangkatsatu (linear).Sehingga dapat didefinisikan:Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yangmemuat dua variabel berpangkat satu.Adapun bentuk umum pertidaksamaan linear sebagai berikut:ax + by > cax + bytcax + by < cax + bydcdengan x, y variabel dan a, b, c konstanta.Sekarang, coba perhatikan contoh 1.2 berikut!Contoh 1.2a.x + y > 5 dan 2x – yt 4b. 2x + yd 4, x – 2yd 6, dan x + y < 2Pada contoh 1.2 terdapat lebih dari satu pertidaksamaan linear duavariabel. Hubungan seperti itu disebut sistem pertidaksamaan linear duavariabel.Sehingga dapat didefinisikan:Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah hubungan yangmemuat dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel denganvariabel–variabel yang sama.Kerjakan dengan kelompok Anda!Apakah pertidaksamaan–pertidaksamaan linear di bawah inimembentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel? Jelaskanalasannya!1.x + 2y < 10, 2x – yd 8, xd 0, dan yd 02.a + bt 2 dan 2a – bt 43.2x +yd 6, 2a + bd 4, dan 4p – qd 84.4x + 2y > 8 dan 1x + 2y > 4Tugas Kelompok Tugas Kelompok
4Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaKerjakan di buku tugas Anda!1.Manakah di antara pertidaksamaan–pertidaksamaan di bawahini yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel?a.x + 2y – z < 4b.x2 + 2yt 8c.x + x(y – 2) d 6d. 3x d2 – ye.4x – 2y > 12.Manakah di antara pertidaksamaan–pertidaksamaan di bawahini yang membentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel?a. 3x – 4 d 6 dan xtyb.x(x +2) + yd 4 dan 4x – 2yd 6c.2x + 5yd8 dan 23x – 2y < 53.Ubahlah kalimat di bawah ini menjadi bentuk pertidaksamaanlinear!a. Harga buku tulis per buah Rp2.000,0 dan harga pensil perbuah Rp500,00. Uang yang tersedia Rp9.400,00.b. Untuk menyelesaikan soal A, dibutuhkan 2 menit per itemnya.Sedangkan untuk menyelesaikan soal B dibutuhkan waktu 5menit per itemnya. Waktu yang tersedia 1,5 jam.2. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear DuaVariabelBagaimana cara menentukan himpunan penyelesaian sistempertidaksamaan linear dua variabel? Sebelumnya Anda harus mengingatkembali cara menentukan himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan.Perhatikan contoh 1.3 berikut!Contoh 1.3Tentukan daerah himpunan penyelesaian 2x – yd 6 dengan x, yR!Latihan 1
Program Linear5Penyelesaian:Langkah pertama adalah menggambar grafik 2x – y = 6 pada bidangCartesius. Untuk menggambar grafik tersebut, agar lebih mudah, kitaharus menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.a. Menentukan titik potong dengan sumbu X, berarti y = 02x – y= 62x – 0 = 62x= 6x= 62 x= 3Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (3, 0).b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y, berarti x = 02x – y= 62(0) –y= 6–y= 6y= –6Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, –6).Jika dibuat dalam tabel seperti berikut ini.Tabel 1.1x03y–60(x, y) (0, –6) (3, 0)Gambar grafiknya sebagai berikut.Gambar 1.23–6XYO(3, 0)(0, –6)2x – y = 6
6Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaLangkah berikutnya adalah mengambil sembarang titik uji yangterletak di luar garis 2x – y = 6, misalnya titik O(0, 0). Titik uji tersebut kitasubstitusikan ke dalam pertidaksamaan 2x – yd 6. Sehingga diperoleh:2x – yd 62(0) – 0d 6 0d 6 (merupakan pernyataan yang benar)Karena 2(0) – 0 d 6, maka bagian belahan bidang yang memuat titik(0, 0) merupakan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan2x – yd 6. Langkah terakhir adalah menandai daerah himpunanpenyelesaian dari pertidaksamaan 2x – yd 6.Dari contoh 1.3, diperoleh langkah–langkah untuk menentukanhimpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan sebagai berikut.a . Menggambar grafik ax + by = c pada bidang Cartesius.b.Mengambil sembarang titik uji (x1, y1) yang terletak di luar garis ax + by = cdan mensubstitusikan titik uji tersebut ke dalam pertidaksamaannya.Apabila diperoleh pernyataan yang benar, maka bagian belahanbidang yang memuat titik uji (x1, y1) merupakan daerah himpunanpenyelesaian dari pertidaksamaan. Sebaliknya, apabila diperolehpernyataan yang salah, maka bagian belahan bidang yang tidakmemuat titik uji (x1, y1) merupakan daerah himpunan penyelesaiannya.c.Menandai daerah himpunan dengan menggunakan raster atau arsiran.Sekarang, kita akan mempelajari cara menentukan himpunanpenyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Perhatikancontoh 1.4 berikut!YX3–6O(3, 0)(0, –6)Gambar 1.3daerah himpunanpenyelesaianCatatanDalam buku ini, daerahhimpunan penyelesaiandari suatu pertidaksamaanditandai dengan menggunakanraster.
Program Linear7Contoh 1.4Tentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaanlinear dua variabel berikut ini:3x + 2yd 12, x – yd 3, xt 0, dan yt 0 untuk x, yR!Penyelesaian:Langkah pertama adalah menggambar masing–masing grafikhimpunan penyelesaian dari pertidaksamaan–pertidaksamaan yangmembentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel tersebut.a .Menentukan titik potong 3x + 2y = 12 dan x – y = 3 dengan sumbu X dansumbu Y.Tabel 1.23x + 2y = 12x – y = 3x04x03y60y–30(x, y)(0, 6)(4, 0)(x, y)(0, –3)(3, 0)(a)(b)b. Mengambil sembarang titik uji, misalnya (0, 0), untuk disubstitusikanke dalam pertidaksamaannya.3x + 2yd12x – yd 33(0) + 2(0)d 120 – 0 d 30d 12 (benar)0 d 3 (benar)c .Menggambar daerah himpunan penyelesaiaan keempat pertidaksamaan.1) 3x + 2yd 122)x – yd 33)xt 04)yt 06O4XY–3O3XYGambar 1.3OXYOXY
8Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaLangkah berikutnya adalah menentukan irisan atau interseksi darikeempat grafik pada gambar 1.3. Irisan atau interseksi tersebut merupakandaerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear duavariabel 3x + 2yd 12, x – yd 3, xt 0, dan yt 0 untuk x, yR.Kita telah dapat menggambar daerah himpunan penyelesaiansuatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Sekarang, dapatkahAnda melakukan proses kebalikannya? Dapatkah Anda menentukanbentuk sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel jika gambardaerah himpunan penyelesaianya telah diketahui? Perhatikan contoh 1.5berikut!Contoh 1.5Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang daerahhimpunan penyelesaiannya ditunjukkan pada gambar berikut!YX34–36x – y = 3Gambar 1.4YOdaerah himpunanpenyelesaian3x + 2y = 12XY42O–45Gambar 1.5daerah himpunanpenyelesaian
Program Linear9Penyelesaian:1. Persamaan garis yang melalui (0, 4) dan (5, 0)121yyyy= 121xxxx404y= 050x44y= 5x5(y – 4) = –4x5y – 20 = –4x4x + 5y= 20Ambil titik O(0, 0) sebagai titik uji, kemudian substitusikan padapersamaan garis yang telah diketahui.4(0) + 5(0) d 20(benar)Jadi, diperoleh pertidaksamaan 4x + 5yd 20.2. Persamaan garis yang melalui (0, 2) dan (–4, 0)121yyyy=121xxxx202y=040x22y=4x–4(y – 2)=–2x–4y + 8=–2x2x – 4y=–4x – 2y=–2Ambil titik O(0,0) sebagai titik uji, kemudian substitusikan padapersamaan garis yang telah diketahui.0 – 2(0) t –2(benar)Sehingga diperoleh pertidaksamaan x – 2yt –23. Garis x = 0Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah kanan garisx = 0, maka diperoleh pertidaksamaan xt 0.4. Garis y = 0Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah atas garis y = 0,maka diperoleh pertidaksamaan yt 0.Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah 4x + 5yd 20, x – 2yt –2, xt 0,dan yt 0 dengan x, yR.
10Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaDiskusikan dengan kelompok Anda!Suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri ataspertidaksamaan 3x + 2yd 6 dan 3x + 2yt 12 dengan x, yR. Apakahsistem pertidaksamaan tersebut mempunyai daerah himpunanpenyelesaian? Jelaskan alasannya!Kerjakan di buku tugas Anda!1.Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaanberikut dengan x, yR!a . –3 < x < 2b. 4 ty > 1c. 5x + 2yd 10d. 3x + 4yt 122.Gambarlah daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaanberikut dengan x, yR!a. 4x + 7yd 28, 5x – 3yd 15, xt 0, dan 0 dyd 8b. 3x – 4yd 16, 3x + 2y d46, xt 0, dan 0 dyd 83.Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang daerahhimpunan penyelesaiannya ditunjukkan oleh gambar berikut.a.b.Tugas Kelompok Tugas KelompokLatihan 2YX(6, 8)(6, 2)622(2, 2)8daerah himpunanpenyelesaianO(–2, 3)(–6, 3)–4OXY3daerah himpunanpenyelesaian
Program Linear114.Diketahui sistem pertidaksamaan 5x + 7yd 35, 2 dxd 7, dan yt 0dengan x, yR.a. Tentukan titik–titik (x, y) pada daerah himpunan penyelesaiantersebut untuk x, yN (N adalah himpunan bilangan asli).b. Tentukan nilai 2x – y untuk setiap titik yang diperoleh padasoal a.c.Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum pada soal b sertauntuk titik–titik mana nilai–nilai itu diperoleh.3. Program Linear dan Model MatematikaDi dalam masalah yang berkaitan dengan program linear, kita akanmenghadapi persoalan pengoptimuman (optimasi) suatu fungsi linear.Pengoptimuman ini dapat berupa pemaksimuman atau peminimuman.Artinya, kita akan mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari fungsitujuan yang berupa fungsi linear tersebut.Untuk memecahkan masalah program linear, kita sebelumnya harusdapat menerjemahkan bahasa permasalahan ke dalam bahasa matematika.Bahasa atau rumusan matematika ini disebut model matematika. Dalammenyusun atau merumuskan model matematika, kita harus dapatmenyatakan besaran–besaran masalah sebagai variabel–variabel.Selanjutnya adalah merumuskan hubungan matematika sesuai denganketentuan dalam masalah tersebut.Perhatikan contoh 1.6 berikut!Contoh 1.6Ibu membeli 3 kg jeruk dan 5 kg apel seharga Rp72.500,00. SedangkanIhsan hanya membayar Rp17.500,00 untuk 1 kg jeruk dan 1 kg apel. Buatlahmodel matematika dari permasalahan tersebut!Penyelesaian:Langkah pertama adalah menyatakan besaran–besaran dalampermasalahan sebagai variabel–variabel. Misalkan untuk harga 1 kg jerukdinyatakan dengan x rupiah, sedangkan untuk harga 1 kg apel dinyatakandengan y rupiah.Langkah berikutnya adalah merumuskan hubungan matematika sesuaiketentuan dalam permasalahan. Berdasarkan permasalahan pada contoh1.6 diperoleh hubungan:3x + 5y=72.500 x + y=17.500Jadi, model matematikanya adalah 3x + 5y = 72.500 dan x + y = 17.500dengan x, yC.
12Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaPada prinsipnya, menyusun atau merumuskan model matematikadalam suatu masalah program linear adalah menentukan fungsi tujuan,fungsi objektif, atau fungsi sasaran beserta kendala yang harus dipenuhidalam masalah program linear tersebut. Perhatikan contoh 1.7 berikut!Contoh 1.7Kakak akan membuat dua jenis roti, yaitu roti A dan roti B. Roti Amembutuhkan 1 kg tepung terigu dan 0,5 kg telur. Sedangkan roti Bmembutuhkan 1,5 kg tepung terigu dan 1 kg telur. Kakak hanyamempunyai 15 kg tepung terigu dan 40 kg telur. Jika banyaknya roti Ayang akan dibuat adalah x dan banyaknya roti B yang akan dibuat adalahy, maka tentukan model matematikanya!Penyelesaian:Agar lebih mudah dalam membuat model matematikanya, persoalantersebut disajikan dalam tabel terlebih dahulu.Tabel 1.3Roti A (x)Roti B (y)Persediaan bahanTepung terigux1,5y15Telur0,5xy10Banyaknya tepung terigu yang dibutuhkan untuk membuat kedua rotiadalah (x + 1,5y) kg. Karena persediaan tepung terigu adalah 15 kg, makadiperoleh hubungan:x + 1,5 yd 15 atau 2x + 3yd 30Sedangkan banyaknya telur yang dibutuhkan untuk membuat keduaroti adalah (0,5x + y) kg. Karena persediaan telur adalah 10 kg, makadiperoleh hubungan: 0,5x + yd10 atau x + 2yd 20x dan y adalah banyaknya roti A dan roti B sehingga x dan y tidakmungkin negatif. Oleh karena itu, x dan y harus memenuhi hubungan:x t 0 dan yt 0, dengan x, yC.Jadi, model matematikanya adalah 2x + 3yd 30, x + 2yd 20, x t 0 dan yt 0,dengan x, yC.Contoh 1.8Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian, yaitu pakaian anak–anak dan pakaian dewasa. Satu pakaian anak–anak memerlukan waktu1 jam untuk tahap pemotongan, 0,5 jam untuk tahap pengobrasan, dan1,5 jam untuk tahap penjahitan. Sedangkan satu pakaian dewasamemerlukan waktu 1,5 jam untuk tahap pemotongan, 1 jam ntukpengobrasan, dan 2,5 jam untuk tahap penjahitan. Penjahit tersebutmemiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama 20 jam untuk tahappemotongan, 15 jam untuk tahap pengobrasan, dan 40 jam untuk tahap
Program Linear13penjahitan. Keuntungan bersih pakaian anak–anak dan pakaian dewasaadalah Rp15.000,00 dan Rp30.000,00. Buatlah model matematika darimasalah program linear tersebut agar diperoleh keuntungan sebesar–besarnya!Penyelesaian:Misalkan banyaknya pakaian anak–anak = x dan banyaknya pakaiandewasa = y. Agar lebih mudah, persoalan di atas disajikan dalam bentuktabel sebagai berikut!Tabel 1.4PakaianPakaianWaktuanak–anakdewasa(x)(y)Pemotongan1x1,5x20Pengobrasan0,5x1y15Penjahitan1,5x2,5y40Keuntungan15.000x30.000yWaktu yang digunakan untuk tahap pemotongan kedua jenis pakaianadalah (x +1,5y) jam dengan waktu yang tersedia 20 jam. Sehinggadiperoleh hubungan:x + 1,5yd 20 atau 2x + 3yd 40Waktu yang digunakan untuk tahap pengobrasan kedua jenis pakaianadalah (0,5x + y) jam dengan waktu yang tersedia 15 jam. Sehinggadiperoleh hubungan: 0,5x + yd 15 atau x + 2yd 30Waktu yang digunakan untuk tahap penjahitan kedua jenis pakaianadalah (1,5x +2,5y) jam dengan waktu yang tersedia 40 jam. Sehinggadiperoleh hubungan: 1,5x + 2,5yd40 atau 3x + 5yd 80x dan y menyatakan banyaknya pakaian anak–anak dan pakaiandewasa dan harus merupakan bilangan cacah, sehingga xt 0 dan yt 0dengan x, yC.Keuntungan yang diperoleh dari kedua jenis pakaian adalah:z = 15.000x + 30.000yJadi, model matematika dari masalah di atas adalah:q2x + 3yd 40, x + 2yd 30, 3x + 5yd 80, x t 0, dan yt 0, dengan x dan yC.Bagian ini adalah sistem pertidaksamaan linear dua variabel yangmerupakan kendala.
14Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasaqz = 15.000x + 30.000yBagian ini adalah fungsi linear dua variabel yang merupakan fungsitujuan, fungsi objektif, atau fungsi sasaran yang akan ditentukan nilaimaksimumnya.Kita telah mempelajari cara membuat model matematika masalahprogram linear yang berhubungan dengan pemaksimuman suatu fungsilinear. Sekarang, perhatikan contoh 1.9 berikut!Contoh 1.9Seorang praktikan membutuhkan dua jenis larutan, yaitu larutan Adan larutan B untuk eksperimennya. Larutan A mengandung 10 ml bahanI dan 20 ml bahan II. Sedangkan larutan B mengandung 15 ml bahan Idan 30 ml bahan II. Larutan A dan larutan B tersebut akan digunakanuntuk membuat larutan C yang mengandung bahan I sedikitnya 40 mldan bahan II sedikitnya 75 ml. Harga tiap ml larutan A adalah Rp5.000,00dan tiap ml larutan B adalah Rp8.000,00. Buatlah model matematikanyaaga biaya untuk membuat larutan C dapat ditekan sekecil–kecilnya!Penyelesaian:Misalkan banyaknya larutan A adalah x dan banyaknya larutan Badalah y. Agar lebih mudah, persoalan program linear tersebut disajikandalam tabel seperti berikut ini.Tabel 1.5Larutan A (x)Larutan B (y)Larutan CBahan I10x15y40Bahan II20x30y75Biaya5.000x8.000yBahan I yang terkandung dalam laruan C sebanyak (10x + 15y) ml,padahal larutan C mengandung bahan I sedikitnya 40 ml. Sehinggadiperoleh hubungan:10x + 15yt 40 atau 2x + 3yt 8Bahan II yang terkandung dalam larutan C sebanyak (20x + 30y) ml,padahal larutan C mengandung bahan II sedikitnya 75 ml. Sehinggadiperoleh hubungan:20x + 30yt 75 atau 4x + 6y t15x dan y menyatakan banyaknya larutan sehingga tidak mungkinnegatif dan harus merupakan bilangan real. Sehingga diperolehhubungan: xt 0 dan yt 0 dengan x, y R.Biaya untuk membuat larutan C adalah:z = 5.000x + 8.000y
Program Linear15Jadi, model matematika dari masalah di atas adalah:q2x + 3yt 8, 4x + 6yt 15, xt 0, dan yt 0 dengan x, y R.Bagian ini adalah sistem pertidaksamaan linear dua variabel yangmerupakan kendala.qz = 5.000x + 8.000yBagian ini adalah fungsi linear dua variabel yang merupakan fungsitujuan, fungsi objektif, atau fungsi sasaran yang akan ditentukan nilaiminimumnya.Kerjakan di buku tugas Anda!1.Irfan membeli 3 kaos olahraga dan 4 raket bulu tangkis denganharga keseluruhan Rp335.000,00. Sedangkan Indra harusmembayar Rp375.000,00 untuk 5 kaos olahraga dan 3 raket bulutangkis yang sama. Buatlah model matematika dari masalahtersebut!2.Anisa ingin membuat dua macam boneka, yaitu boneka A danboneka B. untuk membuat boneka A diperlukan 1 m kain dan 1 kgdakron. Sedangkan untuk membuat boneka B diperlukan 2 m kaindan 1,5 kg dakron. Anisa hanya mempunyai 7 m kain dan 12 kgdakron. Buatlah model matematika dari masalah tersebut!3.Di dalam suatu ujian Bahasa Indonesia ada dua pilihan tipe soal.Tipe I terdiri atas 40 soal yang masing–masing dapat diselesaikandalam waktu rata–rata 2 menit. Tipe II terdiri atas 15 soal yangmasing–masing dapat diselesaikan dalam waktu rata–rata 5 menit.Setiap jawaban yang benar dari soal tipe I akan memperoleh skor2, sedangkan setiap jawaban yang benar dari soal tipe II akanmemperoleh skor tiga kali lipatnya. Jika waktu yang tersedia untukujian tersebut 2 jam, buatlah model matematikanya agar pesertaujian dapat memperoleh skor setinggi–tingginya!4.Fitri diharuskan makan dua tablet vitamin setiap hari. Tabletpertama mengandung 3 unit vitamin B dan 2 unit vitamin C,sedangkan tablet kedua mengandung 2 unit vitamin B dan 3 unitvitamin C. Dalam sehari Fitri memerlukan maksimal 18 unitvitamin B dan 15 unit vitamin C. Jika harga tablet pertamaRp800,00 per biji dan tablet kedua Rp700,00 per biji, buatlah modelmatematika dari masalah tersebut agar pengeluaran Fitri untukmembeli tablet per hari dapat ditekan serendah–rendahnya!Latihan 3
16Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaB. Nilai Optimum Fungsi ObjektifSetelah menyusun model matematikasuatu program linear, langkah selanjutnyaadalah menentukan jawaban ataupenyelesaian bagi masalah tersebut. Kitasudah mengetahui bahwa tujuan programlinear adalah menentukan penyelesaianoptimum. Dari segi matematika, penyelesaianini berupa titik pada himpunan penyelesaianyang akan membuat fungsi objektif ataufungsi tujuan bernilai maksimum atauminimum. Permasalahannya adalahbagaimana Anda dapat mencari satu diantara sekian banyak titik yang akanmembuat fungsi objektif tersebut bernilaioptimum?Untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif, kita dapatmenggunakan dua metode, yaitu:1. Metode simpleksMetode simpleks pertama kali dikembangkan oleh George Dantzig padatahun 1947. Metode ini membutuhkan langkah–langkah perhitungan yangagak rumit dan biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalahprogram linear yang melibatkan banyak variabel.2. Metode grafikMetode grafik biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalahprogram linear yang sederhana, misalnya program linear yang hanyamelibatkan dua variabel saja. Metode ini terdiri atas dua macam, yaitumetode uji titik ujung dan metode garis selidik. Selanjutnya, kita akanmembahas kedua macam metode tersebut.1. Metode Uji Titik UjungAnda sudah mempelajari bahwa model matematika program linearmemuat fungsi objektif dan kendala–kendala yang harus dipenuhi. Selainitu, Anda juga telah belajar menggambar grafik himpunan penyelesaiansistem pertidaksamaan linear dua variabel. Selanjutnya, kita akanmenentukan nilai optimum dari suatu fungsi objektif dengan metode ujititik ujung. Perhatikan contoh berikut!Info MatematikaProgram linear merupakan salahsatu bahasan dalam optimasi yangberkembang cukup pesat. Perumusanmasalah program linear danpemecahannya secara sistematisbaru dimulai pada tahun 1947ketika George B. Dantzig merancangsebuah metode yang dikenaldengan nama Metode Simpleksuntuk keperluan angkatan udaraAS. Apa yang dirintis oleh Dantzigini merupakan langkah yangpenting untuk mengembangkanpemrograman linear kepadapenggunaan yang lebih luas.
Program Linear17Contoh 1.10Sebuah perusahaan memproduksi sepeda dan skuter denganmenggunakan dua mesin. Untuk memproduksi sepeda dibutuhkan waktu5 jam dengan menggunakan mesin pertama dan 2 jam denganmenggunakan mesin kedua. Untuk memproduksi skuter dibutuhkanwaktu 3 jam dengan menggunakan mesin pertama dan 6 jam denganmenggunakan mesin kedua. Kapasitas maksimum mesin pertama 150 jam,sedangkan kapasitas maksimum mesin kedua 180 jam. Keuntungan bersihyang diperoleh dari tiap satu unit sepeda adalah Rp480.000,00 dan satuunit skuter adalah Rp560.000,00. Tentukan jumlah sepeda dan skuter yangharus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum!Penyelesaian:1. Langkah pertama adalah membuat model matematika dari masalahdi atas. Misalkan banyaknya sepeda dinyatakan dengan x danbanyaknya skuter dinyatakan dengan y.Tabel 1.6Sepeda (x)Skuter (y)Kapasitas maksimumMesin I5x3y150Mesin II2x6y180Keuntungan480.000x560.000yBerdasarkan tabel 1.6 diperoleh:qFungsi objektif yang akan dimaksimumkan:z = 480.000x + 560.000yqKendala–kendala yang harus dipenuhi:5x + 3yd 1502x + 6yd 180xt0yt0dengan x, y C.2. Langkah kedua adalah menggambar grafik himpunan penyelesaiandari sistem pertidaksamaan linear dua variabel tersebut. Agar lebihmudah, kita perlu menentukan titik potong garis 5x + 3y = 150 dan2x + 6y = 180 dengan sumbu X dan sumbu Y.
18Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa30503090XY(30, 0)(15, 25)(0, 30)Gambar 1.6OTabel 1.75x + 3y = 1502x + 6y = 180x030x090y500y300(x, y)(0, 50)(30, 0)(x, y)(0, 30)(90, 0)(a)(b)Diperoleh grafik sebagai berikut.Titik–titik ujung yang terletak pada daerah himpunan penyelesaianadalah titik–titik (0, 0), (30, 0), (15, 25), dan (0, 30).3.Langkah ketiga adalah menghitung nilai fungsi objektif z = 480.000x + 560.000yuntuk titik–titik ujung pada daerah himpunan penyelesaian.Perhatikan tabel 1.8 berikut!Tabel 1.8Titik ujungz = 480.000x + 560.000y(0, 0)0(30, 0)14.400.000(15, 25)21.200.000(0, 30)16.800.000Berdasarkan tabel 1.8 di atas diketahui bahwa fungsi objektifz = 480.000x + 560.000y mencapai nilai maksimum sebesar21.200.000 pada titik potong garis 5x + 3y = 150 dengan 2x + 6y = 180,yaitu (15, 25).4. Langkah terakhir adalah menafsirkan nilai maksimum fungsi objektifsebagai penyelesaian dari masalah program linear di atas. Karena nilaimaksimum dicapai pada titik (15, 25), maka perusahaan akanmemperoleh keuntungan maksimum jika memproduksi 15 unit sepedadan 25 unit skuter.
Program Linear19Kerjakan di buku tugas Anda!Selesaikan permasalahan berikut ini!Seorang peternak lele setiap hari membutuhkan dua jenis makanan.Makanan jenis I mengandung 200 gram bahan A, 300 gram bahan B,dan 600 gram bahan C, sedangkan makanan jenis II mengandung 300gram bahan A, 600 gram bahan B, dan 900 gram bahan C. Setiap haripeternak lele tersebut membutuhkan sedikitnya 1.200 gram bahan A,1.800 gram bahan B, dan 2.700 gram bahan C. Jumlah makanan yangdibutuhkan setiap harinya sedikitnya 6 kg. Harga tiap kg makanan jenisI adalah Rp3.000,00 dan makanan jenis II adalah Rp6.000,00. Tentukanbanyaknya makanan jenis I dan makanan jenis II agar biaya makananlele setiap harinya dapat seminimal mungkin!2. Metode Garis SelidikMenentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan metode ujititik ujung membutuhkan ketelitian dan waktu yang agak lama. Cara lainyang lebih cepat dan sederhana adalah menggunakan metode garis selidik.Apa dan bagaimana metode garis selidik tersebut? Ikuti pembahasanberikut!Apabila diketahui fungsi objektif suatu program linear adalah z = ax + by,maka ambil nilai–nilai k untuk mengganti nilai z, yaitu k1, k2, k3, ..., kn.Karena z = ax + by, maka:k1=ax + byk2=ax + by}kn=ax + by, dengan kR.Garis–garis tersebut merupakan garis–garis yang sejajar pada daerahhimpunan penyelesaian kendalanya. Masih ingatkah Anda syarat duabuah garis dikatakan saling sejajar?Garis selidik ax + by = k (kR) merupakan himpunan garis–garisyang sejajar. Dua buah garis dikatakan sejajar jika memiliki gradienyang sama.Sekarang perhatikan contoh 1.11 berikut!Contoh 1.11Sebuah perusahaan memproduksi dua model kapal pesiar. Model Imembutuhkan waktu 30 jam untuk memotong dan merakit serta 40 jam Tugas Individu
20Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasauntuk menyelesaikannya. Model 2 membutuhkan 45 jam untuk memotongdan merakit serta 30 jam untuk menyelesaikannya. Waktu yang tersedia 360jam untuk memotong dan merakit serta 300 jam untuk menyelesaikannya.Keuntungan bersih untuk setiap unit model I sebesar Rp4.500.000,00 danmodel II sebesar Rp6.000.000,00. Tentukan banyaknya kapal pesiar modelI dan model II yang harus diproduksi agar diperoleh keuntunganmaksimum!Penyelesaian:Misalkan x adalah banyaknya kapal pesiar model I dan y adalahbanyaknya kapal pesiar model II. Sebelumnya, kita sajikan dulu masalahdi atas dalam tabel 1.9 berikut ini.Tabel 1.9Model IModel IIWaktu yang tersedia (x)(y)Memotong dan merakit30x45y360Menyelesaikan40x30y300Keuntungan bersih4.500.000x6.000.000yBerdasarkan tabel 1.9 diperoleh:a. Fungsi objektif yang akan dimaksimumkan:z = 4.500.000x + 6.000.000yb. Kendala–kendala yang harus dipenuhi:30x + 45yd 36040x + 30yd 300xt0y t0 dengan x, yC.Langkah berikutnya adalah menggambar daerah himpunanpenyelesaian. Titik potong garis 30x + 45y = 360 dan 40x + 30y = 300dengan sumbu X dan sumbu Y disajikan dalam tabel 1.10 berikut ini.Tabel 1.1030x + 45y = 36040x + 30y = 300x012x07,5y80y100(x, y)(0, 8)(12, 0)(x, y)(0,10)(7,5, 0)(a)(b)
Program Linear21Diperoleh grafik himpunan penyelesaian sebagai berikut.Karena fungsi objektif berbentuk z = 4.500.000x + 6.000.000y, makapersamaan garis selidiknya adalah 4.500.000x + 6.000.000y = k (kR).Misalnya, kita ambil nilai k = 18.000.000, sehingga garis tersebutmempunyai persamaan 4.500.000x + 6.000.000y = 18.000.000 ataudisederhanakan menjadi 45x + 60y = 180.Garis yang sejajar dengan 45x + 60y = 180 dan terletak paling jauhdari titik O(0, 0) adalah garis yang melalui titik (3, 6). Dengan demikian,titik (3,6) merupakan titik optimum, yaitu nilai maksimumz = 4 . 5 00.000x + 6.000.000y.(3, 6)oz=4.500.000x + 6.000.000y=4.500.000(3) + 6.000.000(6)=13.500.000 + 36.000.000=49.500.000Jadi, perusahaan akan memperoleh keuntungan maksimum, yaitu sebesarRp49.500.000,00 jika memproduksi 3 unit kapal pesiar model A dan 6unit kapal pesiar model B.Kerjakan di buku tugas Anda!1.Tentukan nilai maksimum fungsi objektif z = 10x + 25y dengankendala–kendala xd 12, 2 dyd 7, 2x + yd 8!2.Tentukan nilai minimum fungsi objektif z = 15x + 8y dengankendala–kendala 8xy d 48, x – 10yd 6, 3x–yd–11!Latihan 4X12844810O(0, 10)(0, 8)(3, 6)(7,5, 0)(12, 0)30x + 45y = 36040x + 30y = 30045x + 60y = 180daerah himpunanpenyelesaianYGambar 1.7CatatanqJika garis selidik terletak palingjauh dari titik O(0, 0) dan melewatititik (x, y) yang terletak padadaerah himpunan penyelesaian,maka titik (x, y) tersebut yangakan membuat fungsi objektifbernilai maksimum.qJika garis selidik terletak palingdekat dari titik O(0, 0) dan melaluititik (x, y) yang terletak padadaerah himpunan penyelesaian,maka titik (x, y) tersebut yangakan membuat fungsi objektifbernilai minimum.
22Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaRangkuman3.Seorang pedagang membeli pakaian anak–anak sehargaRp30.000,00 dan pakaian dewasa seharga Rp50.000,00. Taspedagang hanya dapat dimuati tidak lebih dari 60 pakaian. Modalpedagang Rp3.000.000,00. Jika keuntungan pakaian anak–anakRp6.000,00 dan pakaian dewasa Rp10.000,00, maka tentukankeuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut!4.Seorang tukang kebun membutuhkan dua jenis pupuk. Dalamsetiap kantong, pupuk jenis I mengandung 300 gram zat kimia Adan 600 gram zat kimia B. sedangkan pupuk jenis II mengandung400 gram zat kimia A dan 300 gram zat kimia B. Tukang kebuntersebut membutuhkan sedikitnya 12 kg zat kimia A dan 15 kgzat kimia B. Jika harga satu kantong pupuk jenis I Rp10.000,00dan pupuk jenis II Rp12.000,00, tentukan banyaknya pupuk jenisI dan pupuk jenis II agar biaya dapat ditekan seminimum mungkin!5.Luas lahan parkir 176 m2, sedangkan luas rata–rata tiap mobildan bus masing–masing 4 m2 dan 20 m2. Lahan parkir tersebuthanya mampu menampung 20 mobil dan bus. Jika biaya parkiruntuk mobil Rp1.000,00 per jam dan untuk bus dua kali lipatnya,berapakah besar pendapatan maksimum yang dapat diperolehdari lahan parkir tersebut?1. Program linear adalah metode untuk menyelesaikan masalahoptimasi, yaitu masalah yang berhubungan dengan penentuanmaksimum atau minimum suatu fungsi linear dengan kendala–kendala berupa sistem pertidaksamaan linear.2. Langkah–langkah untuk menentukan daerah himpunanpenyelesaian suatu masalah program linear sebagai berikut.a. Membuat model matematikanya.b. Menggambar grafik, yaitu garis ax + by = c pada bidangCartesius.c.Mengambil sembarang titik uji yang terletak di luar garisax + by = c dan mensubstitusikan ke dalam pertidaksamaannya.d. Apabila titik uji menyebabkan pertidaksamaan bernilai benar,maka bagian belahan bidang yang memuat titik uji adalahdaerah himpunan penyelesaian.
Program Linear23e. Menentukan interseksi atau irisan dari berbagai grafikpenyelesaian.3. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif z = ax + by dapatmenggunakan metode sebagai berikut.a. Uji titik ujungTitik–titik di setiap ujung daerah himpunan penyelesaiandisubstitusikan ke fungsi z untuk menentukan titik mana yangakan mengoptimumkan fungsi z.b. Garis selidikMembuat garis selidik ax + by = k (k R), kemudian membuatgaris–garis yang sejajar dengan garis selidik. Titik pada daerahhimpunan penyelesaian yang dilalui garis selidik yang terletakpaling jauh atau paling dekat dengan titik O(0, 0) akanmengoptimumkan fungsi z.Kerjakan soal–soal di bawah ini dengan benar!1.Manakah di antara pertidaksamaan di bawah ini yang merupakanpertidaksamaan linear dua variabel?a.2x + 1yt 4 dan 1x – 1yt 2b.2x + 3yd 6 dan 3x – 2yd 12c.x(x + 2) + yt2d. 10 + 2x < 5y2.Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaanberikut dengan x, yR!a.12dx < 62 dan yt 2b.x < 8 dan 0 dyd6Uji Kompetensi
24Matematika SMA/MA Kelas XII Program Bahasa3.Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang daerah himpunanpenyelesaiannya ditunjukkan oleh gambar berikut:a.b.4.Tunjukkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaanberikut:a. 5x + 2yd 10, 2x + 3yd 6, xt 0, dan yt 0 dengan x, yR;b. –x + yd 2, 2x + 3yd 12, xt 0, dan yt 0 dengan x, yR!5.Pada ujian Bahasa Inggris terdapat dua tipe soal. Dibutuhkanwaktu 3 menit untuk menjawab setiap soal pada soal tipe I dandibutuhkan waktu 4 menit untuk menjawab setiap soal pada soaltipe II. Waktu yang tersedia hanya 2 jam. Buatlah modelmatematika permasalahan tersebut!6.Sebuah kapal memiliki kapasitas maksimum 500 orangpenumpang. Setiap penumpang kelas eksekutif boleh membawabarang maksimum 60 kg dan kelas ekonomi 30 kg. Kapal tersebuthanya dapat mengangkut 1.200 kg barang. Buatlah modelmatematikanya!7.Tentukan nilai maksimum dari fungsi z = 40x + 10y dengankendala x + yd 10, 2x + yd 12, xt 0, dan yt 0 dengan x, yR!8.Sebuah kolam besar terdiri dari ikan lele dan ikan mujair. Beratrata–rata per ekor ikan lele 500 gram dan ikan mujair 400 gram.Berat seluruh ikan paling sedikit 200 kg. Kolam tersebut hanyadapat menampung 160 ekor ikan. Gambarlah daerahpenyelesaiannya!YX62–3O4YX53O35
Program Linear259.Diketahui sistem pertidaksamaan x + 2yd 10, 2x + yd 8, xt 0,dan yt 0.a. Tentukan nilai x + 2y untuk setiap titik pada daerah himpunanpenyelesaian dengan x, yN (himpunan bilangan asli)!b. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum pada soal a sertauntuk titik–titik mana nilai–nilai itu diperoleh!10.Tentukan nilai minimum dari fungsi z = 25x + 20y dengan kendalax + 2yt 4, 7x + 4yd 28, xt 0, dan yt 0!11.Sebuah perusahaan percetakan memproduksi dua jenis buku teks.Buku teks A membutuhkan 5 jam untuk mencetak dan 8 jam untukmenjilid. Buku teks B membutuhkan 6 jam untuk mencetak dan 4jam untuk menjilid. Waktu yang tersedia untuk mencetak 490 jamdan untuk menjilid 560 jam. Laba bersih dari buku teks A sebesarRp18.000,00 dan dari buku teks B sebesar Rp20.000,00. Tentukanbanyaknya buku teks A dan B yang harus diproduksi agarperusahaan memperoleh laba maksimum!12. Nenek ingin membuat dua jenis makanan. Makanan Imembutuhkan 5 kg tepung terigu dan 2 kg gula pasir. Makanan IImembutuhkan 3 kg tepung terigu dan 5 kg gula pasir. Nenekmembeli sedikitnya 30 kg tepung terigu dan 20 kg gula pasir. Jikaharga tepung terigu Rp6.000,00 per kg dan Rp8.000,00 untuk gulapasir per kg, berapa kg banyaknya tepung terigu dan gula pasiryang harus dibeli nenek agar biaya yang dikeluarkan dapatsemurah–murahnya?13.Seorang pengrajin membuat dua macam cinderamata dari kayulapis. Setiap unit cinderamata A membutuhkan 10 menit untukmemotong dan 20 menit untuk merakit. Setiap unit cinderamataB membutuhkan 25 menit untuk memotong dan 10 menit untukmerakit. Waktu yang tersedia 5 jam untuk memotong dan 5 jamuntuk merakit. Keuntungan tiap unit dari cinderamata A sebesarRp5.000,00 dan Rp7.500,00 dari cinderamata B. Hitunglahkeuntungan maksimum yang dapat diperoleh pengrajin tersebut!14.Di sebuah rumah makan, seseorang harus membayar tidak lebihdari Rp36.000,00 untuk 3 porsi nasi dan 6 gelas es teh yangdipesannya. Pelanggan di sebelahnya membayar tidak lebih dariRp94.000,00 untuk 9 porsi nasi dan 4 gelas es teh. Jika ada yangmemesan 2 porsi nasi dan 4 gelas es teh, berapa harga maksimumyang harus dia bayar?
26Matematika SMA/MA Kelas XII Program BahasaPengayaan15.Handy membutuhkan dua macam suplemen setiap hari. SuplemenI mengandung 1 gram produk A dan 2 gram produk B. SuplemenII mengandung 2 gram produk A dan 1 gram produk B. Handyharus mengonsumsi sedikitnya 10 gram suplemen A dan 11 gramsuplemen B setiap hari untuk menjaga stamina tubuhnya. Jikaharga suplemen I Rp500,00 per gram dan suplemen II Rp1.000,00per gram, tentukan biaya minimum yang dikeluarkan Handysetiap hari!Kerjakan di buku tugas Anda!Sebuah perusahaan mebel memproduksi tiga jenis meja, yaitu mejamakan, meja rias, dan meja belajar. Satu unit meja makanmembutuhkan waktu persiapan 1 jam, pemasangan 1 jam, danpengecatan 1 jam. Satu unit meja rias membutuhkan waktu persiapan2 jam, pemasangan 1 jam, dan pengecatan 1 jam. Satu unit meja belajarmembutuhkan waktu persiapan 1 jam, pemasangan 1 jam, danpengecatan 2 jam. Waktu yang tersedia untuk persiapan 100 jam,pemasangan 160 jam, dan pengecatan 120 jam. Keuntungan bersihdari satu unit meja makan sebesar Rp16.000,00, dari satu unit mejarias sebesar Rp30.000,00, dan dari satu unit meja belajar sebesarRp20.000,00.a.Berapa banyak ketiga jenis meja tersebut harus dibuat agarperusahaan memperoleh laba maksimum?b.Tentukan besar laba maksimum yang dapat dicapai perusahaantersebut!c.Berapa jumlah optimal ketiga jenis meja tersebut bila perusahaanhanya mampu memperoleh laba minimum?